环球观点：数学公式还可以自己推导出来，这样学数学，肯定能学得好

2023-02-26 12:56:39来源：哔哩哔哩

老黄的高数作品是一个系列的，已经写了两百多篇作品，它们都是有连续，不是孤立的。但每篇文章的内容又都是独立完整的。

上两篇作品老黄推导了“以e为底的指数函数乘正弦正整数幂”的不定积分公式。对应的视频作品是《老黄学高数》第286讲和第287讲的内容。视频作品只在对老黄开放专栏权限的平台发布。

这篇文章准备把公式推广到“以e为底的指数函数乘余弦正整数幂”的不定积分公式。

【资料图】

探究：Jn(a,b)=∫e^(ax)*(cosbx)^ndx (n∈N*)的不定积分公式.

只要利用以三个公式：(最后进行了换元u=x+π/(2b))

sin(bx+π/2)=sin(b(x+π/(2b)))=sinbu;

e^(ax)=e^(a(x+π/(2b))-aπ/(2b))=e^(-aπ/(2b))*e^(a(x+π/(2b)))=e^(-aπ/(2b))*e^(au);

dx=d(x+π/(2b))=du.

就可以把原积分化为：e^(-aπ/(2b))*∫e^(au)*(sinbu)^ndu. 这是“以e为底的指数函数乘正弦正整数幂”的不定积分，应该上面的公式，就可以转化出“以e为底的指数函数乘余弦正整数幂”的不定积分公式了。

顺带还求了J1(a,b)=∫e^x*cosxdx的结果。利用刚推出来的公式解两道例题：

例1：求∫e^(2x)*(cos3x)^4dx.

例2：求∫e^(3x)*(cos2x)^5dx.

有了老黄推导的公式，解决起来很简便。就是运算的过程出错的概率挺高的。所以都要检验，那才是真正麻烦的地方。

探究正弦相关的公式时，老黄是从特殊到一般的。这里老黄要从一般到特殊，反推当参数a=b=1时的不定积分公式。如下：

这是一个非常简单的过程。将a=b=1代入普通的公式就可以了。同时还可以求出J1=∫e^x*cosxdx的结果. 用这组特殊公式解两道例题：

例3：求∫e^x*(cosx)^6dx.

例4：求∫e^x*(cosx)^7dx.

这种特殊情形下的不定积分就更容易解了。因为这类不定积分的主要麻烦来自参数a,b的形式的变化。最后将这里推导的公式组织如下：

总有人问老黄，推这些公式有什么用。首先，老黄不是因为有用才推导的。学习就是为了学习才叫学习。探究也只是为了探究才叫探究。你没用，不代表别人没用。现在没用也不代表将来没用。当你提出“它有什么用”的问题时，对你来说，就没有什么用了。